EXPLICACIÓN:
1) Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro:
(ver otro método para resolverla)
Los denominadores son monomios. La letra es la misma: x. El denominador común
es x2, la letra con la mayor potencia que aparece. Porque es también
el m.c.m., como ya expliqué en un ejemplo de suma: SUMA
- EJEMPLO 13
2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:
Primer Miembro:
Primera fracción:
x2 : x2 = 1 (como
cualquier cosa que se divide por sí misma, dá 1)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(x2 - 1).1 = x2 - 1
Me va quedando:
Segunda fracción:
x2 : x = x (cómo
se hace esa división)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
(x + 2).x
Me queda:
Segundo miembro:
Primera fracción:
x2 : x = x
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción del segundo miembro:
3.x
Me quedó:
Segunda fracción:
x2 : x2 = 1
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción del segundo miembro:
1.1 = 1
Me quedó:
3) Cancelar el denominador común:
(¿por qué
se puede hacer esto?)
4) Resolver la ecuación:
x2 - 1 - x.(x + 2) = 3x - 1
x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1
x2 - 1 - x2 - 2x = 3x -
1
-2x - 3x = -1 + 1
-5x = 0
x = 0:(-5)
x = 0
5) Condición de existencia y Conjunto solución:
Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de
la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores
dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se
hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y
resolviendo la ecuación que queda:
Denominadores:
x2
x
Para qué valores de x dan cero:
x2 = 0
x = 0 (¿cómo
se resuelve esta ecuación?)
x = 0
Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 0, porque ese
valor hace que dé cero algún denominador.
Condición de existencia: x ≠ 0
Como la solución que encontré en el paso 4 era x = 0, no cumple con la Condición de
existencia. Así que x = 0 no es una solución válida, porque hace que los
denominadores valgan cero. Y es la única que se pudo
encontrar. Así que la ecuación racional no tiene solución. El conjunto solución es entonces
el llamado "conjunto vacío", un conjunto sin elementos:
Conjunto solución: ø
(Conjunto vacío. También se simboliza así: {})
(más sobre la Condición
de existencia y el Conjunto solución)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES
RACIONALES
Otro método para resolver la ecuación de este EJEMPLO 6:
En esta ecuación también es apropiado aplicar el que llamé "método
2": "Pasar todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar
a cero"). Luego se
busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de
fracciones, y se puede cancelar el denominador común". Sería así:
Tercera fracción (las transformación de las dos primeras ya la hice en
el otro método):
x2 dividido x dá x. Así que multiplico x por el numerador (x + 2),
y queda x.(x + 2)
Cuarta fracción:
x2 dividido x2 dá 1. Y 1.1 = 1. Así que en el numerador
queda 1.
Luego, como ya expliqué antes (ver
aquí), si una fracción es igual a 0, su numerador es igual a cero, así
que:
x2 - 1 - x.(x + 2) - 3x + 1 = 0
x2 - 1 - x2 + 2x - 3x +
1 = 0
-1 - x + 1 = 0
-x = 0
x = 0
Por supuesto, se llega al mismo resultado. Y como x debía ser desigual a cero
por la condición de existencia (ver
aquí por qué), esta ecuación no tiene solución:
Conjunto solución =
Ø (vacío)
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 5
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