RESPUESTAS A LAS CONSULTAS
TEMA:
FUNCIONES - FUNCIÓN INVERSA
22-04-11 Pregunta de irma
(INVERSA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA)
por favor quisiera que me ayuden a resolver la inversa de la funcion f(x)=2x2(al cuadrado)+3x
Hola irma.
f(x) = 2x2 + 3x
Para que una función tenga inversa, tiene que ser "biyectiva". No sé
si te enseñaron eso, porque depende del nivel, el curso, etc., a veces no se
habla nada de eso y simplemente te dan una función y lo único que quieren es
que encuentres la fórmula de la inversa, sin aclarar cuál debe ser su Dominio
para que la función sea "biyectiva". Así que vamos a empezar por la
fórmula, y dejamos para lo último lo de las restricciones que hay que poner
para que la función sea biyectiva (que a lo mejor eso ni te lo piden).
Para encontrar la fórmula de la función inversa, se suele hacer un
"cambio de variables" (poner la x en la lugar de la y, y viceversa).
Se puede hacer de dos formas:
- Primero despejar la x, y luego intercambiar las variables
- Primero intercambiar las variables y luego despejar la y
Y una vez me tocó una cátedra donde no se intercambiaban las variables, sino
que se definía a la función inversa con la x en lugar de la y; pero me parece
que eso no es frecuente encontrarlo.
Lo voy a hacer con el primer procedimiento:
f(x) = 2x2 + 3x entonces:
y = 2x2 + 3x
1) Despejando la x:
En esta función en particular, ésta es la parte más complicada del ejercicio.
Porque hay un término con x2 y otro con x, entonces despejar eso
lleva su trabajo. La fórmula de esa función está dada en su forma "polinómica",
y hay que pasarla a la forma "canónica", porque ahí tendremos una
sola vez la "x".
Para pasar a la forma canónica se pueden seguir distintos procedimientos:
- Completar cuadrados (o completar el trinomio)
- Hallar el vértice mediante fórmulas, ya que necesitamos las coordenadas del
vértice para escribir la fórmula canónica.
Como completar cuadrados es un método un poco complicado de explicar (igual ya
lo hice en varias consultas, pero sobre circunferencia, elipse, etc. Ver aquí:
completar cuadrados);
y encima éste sería un caso particular donde falta un término, me parece
mejor hacerlo con el segundo procedimiento: hallar el vértice mediante fórmulas.
Pasaje de la forma polinómica a la forma canónica:
Recordemos cómo es la forma canónica de la función cuadrática:
y = a.(x - xv)2 + yv
Donde "a" es el coeficiente principal (el número que acompaña a la x2
en la forma polinómica); xv es la coordenada "x" del vértice
(o también la x por donde pasa el eje de simetría), e yv es la
coordenada "y" del vértice.
Vértice:
xv = -b/2a
Y como la forma polinómica era:
y = 2x2 + 3x
Vemos que:
a = 2
b = 3
Así que:
xv = -3/(2.2)
xv = -3/4
Y la yv se calcula reemplazando con la xv en la fórmula
de la función:
y = 2x2 + 3x
yv = 2xv2 + 3xv
yv = 2.(-3/4)2 + 3.(-3/4)
yv = 2.(9/16) - 9/4
yv = 9/8 - 9/4
yv = -9/8
Y el coeficiente principal "a" ya lo tenemos: a = 2. Así que
la fórmula canónica es:
y = 2.(x - (-3/4))2 + (-9/8)
y = 2.(x + 3/4)2 - 9/8
(FORMA CANÓNICA)
Ahora sí se puede despejar la x:
y + 9/8 = 2.(x + 3/4)2
(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)2
V(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)
V(y + 9/8)/2 - 3/4 = x
2) Intercambiar variables:
Nos quedó que:
x = V(y + 9/8)/2 - 3/4
Intercambiamos x por y:
y = V(x + 9/8)/2 - 3/4
Y ésa es la fórmula de la función inversa:
f-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4
(FÓRMULA DE LA FUNCIÓN INVERSA)
Si sólo te pedían la fórmula, ahí se termina el ejercicio. Si te piden también
el Dominio e Imagen, sigue:
Restricción del Dominio:
Te había comentado que, para que una función tenga inversa, tiene que ser
biyectiva. Si no sabes eso es un poco largo de explicar y no es rápido de
entender, simplemente te digo que se tienen que cumplir dos cosas:
- A todos los distintos valores de "x" del Dominio, les tiene que
corresponder un valor distinto de "y" del Codominio.
- La Imagen tiene que ser igual al Codominio.
Acá lo del Codominio no tiene importancia, porque en este ejercicio que ten
dieron no te dan un Codominio ni un Dominio: sólo te dan la fórmula. Así que
el Dominio es el "Dominio natural" (todos números Reales a los que se
le puede aplicar la fórmula), y como Codominio tomamos la Imagen (así que se
cumple que Imagen = Codominio). Si no conoces sobre eso te digo que no son
conceptos que puedan explicarse así con ligereza, por eso no te sigo hablando
de eso. Sólo te digo que, en un ejercicio así, si te pidieran que determines
el Dominio y la Imagen de la función inversa (y también la original), se hace
así:
Dominio de f(x) para que sea biyectiva:
En general, una función cuadrática no es Biyectiva en su Dominio Natural (el
conjunto de los Reales). Porque casi siempre hay dos valores de "x"
para los cuáles el valor de "y" es el mismo. Por ejemplo, en nuestra
función:
f(x) = 2x2 + 3x
f(1/4) = 2.(1/4)2 + 3.(1/4) = 2.(1/16) + 3/4 = 7/8
f(-7/4) = 2.(-7/4)2 + 3.(-7/4) = 2.(49/16) - 21/4 = 7/8
Dá igual cuando le aplicamos la función a dos números diferentes: x = 1/4 y x
= -7/4. Una función con la que pasa eso no es biyectiva. Pero podemos
"restringir el Dominio", es decir: buscar otro Dominio más chico
(Subconjunto del Dominio Natural), en donde sí sea biyectiva. Eso es, definirla
con un Dominio donde no haya dos valores diferentes de "x" para los
cuales la función dé igual.
Y en una función cuadrática, eso se puede hacer fácilmente. Piensa en la gráfica
de la función cuadrática: es una parábola. El Eje de Simetría la divide en
dos ramas. Si tomamos una sola rama de la parábola, tenemos el gráfico de una
función biyectiva. Si definimos la función poniendo como Dominio el Intervalo
que abarca una sola de las ramas, logramos que para cada valor de x haya un solo
valor de "y", y así la función sea biyectiva. Y ése intervalo es fácil
de determinar, porque podemos hallar la x por donde pasa el Eje de Simetría.
Con esta fórmula por ejemplo (la misma que sirve para hallar la xv):
x = -b/2a (EJE DE SIMETRÍA)
Que ya lo hicimos antes, y dá:
x = -3/4
El Eje de Simetría divide al eje x (todos los Reales), en dos partes:
(-∞;-3/4) (Rama
decreciente de la parábola)
(-3/4;+∞) (Rama creciente
de la parábola)
Si tomamos uno de ellos como Dominio, la función es biyectiva. Así
restringimos el Dominio. Entonces, para buscar la función inversa, debemos
aclarar que:
Dominio (f): (-3/4;+∞)
(por ejemplo, yo elegí ése)
Imagen (f): (-9/8;+∞)
Aclaremos que la Imagen de una función cuadrática es "desde la yv
para arriba o desde la yv para abajo, según las ramas apunten hacia
arriba o hacia abajo". Bien dicho sería: "El intervalo (yv;+∞),
si a > 0 ó el intervalo (-∞;yv), si a < 0". Como en
nuestra función a = 2 > 0, la imagen es (-9/8;+∞)
Así que, para poder definir la función inversa, definimos a f como:
f(x): (-3/4;+8) ----> (-9/8;+8) / f(x) = 2x2 + 3x
Y entonces la función inversa (de la que ya encontramos la fórmula), es:
f-1(x) : (-9/8) ------> (-3/4;+8) / f-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4
Ya que el Dominio de la función inversa f-1 debe ser la Imagen de
la función f, y viceversa.
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