EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción:
x2 - 16 = con el Quinto Caso de
Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x 4
(x + 4).(x - 4)
Entonces, reemplazo en la fracción a x2 - 16 por (x + 4).(x - 4).
La fracción va quedando así:
El numerador (x - 4) no se puede factorizar, por lo tanto lo dejo como está.
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x - 4) está "arriba
y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador").
Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos (¿por
qué se puede hacer eso?):
1
1
Como los taché, en el próximo paso no los escribo. En este ejemplo estoy
tachando todo lo que hay en el numerador (x - 4), con lo cual no
quedaría nada. Pero una fracción "no puede no tener nada arriba".
Una fracción no puede estar "vacía" en su numerador, no existe una
notación así (¿alguna vez vieron algo así?). Entonces, cuando se tacha todo
lo que hay en el numerador de una fracción, se debe poner en su lugar al
número "1" (ver ejemplo
numérico).
Un ejemplo así me lleva a recordar que, cuando "tacho", en realidad
estoy dividiendo por el polinomio que tacho; y en el lugar donde estaba ese
polinomio que tacho, queda como resultado el número "1", que es el
resultado de esa división. Si quieren entender cómo es eso de que
"dividido", y por qué dá "1" como resultado, recomiendo
leer la explicación que dí acerca de esto en el EJEMPLO
1.
Así, arriba queda un "1", y abajo que la multiplicación de (x +
4).1, que dá por supuesto (x + 4) (el "1" es el neutro de la
multiplicación: "multiplicar a cualquier cosa por uno dá como resultado
la misma cosa"). El resultado final es entonces:
3) Condición para simplificar:
Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la
simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos
valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el
valor cero (Ver aquí)
(recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos
dividiendo).
Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio
simplifiqué solamente el polinomio (x - 4), entonces hago lo siguiente:
x - 4 = 0
x = 0 + 4
x = 4
Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 4), toma el valor cero
cuando x = 4. Porque (4 - 4) = 0 (no entiendo esto).
Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 4.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION
Comparación de este ejemplo con las fracciones numéricas
En la siguiente fracción numérica:
se puede simplificar por el número 2, ya que el numerador (2) y el denominador
(16), pueden ambos dividirse por el número 2. Nos queda así:
1
(¿por qué hay que
dividir por el mismo número?)
8
Ya que 2 dividido 2 dá 1, y 16 dividido 2 dá 8. La fracción simplificada
queda así:
En el numerador quedó un 1, porque justamente simplifiqué por un número igual
al numerador (2). Y es porque al dividir un número por sí mismo, se obtiene
como resultado 1.
Y lo mismo pasa en nuestro EJEMPLO 3 con polinomios:
1
1
estamos simplificando al (x - 4) con el (x - 4). Eso proviene de dividir por (x
- 4) al numerador y al denominador (ya expliqué en otros
apartados la relación que hay entre simplificación y división: Ver
aquí). Y como el numerador era (x - 4) y lo estoy
dividiendo por (x - 4), obtengo 1 como resultado, ya que estoy dividiendo a algo
por sí mismo. Y nos la fracción simplificada nos queda así:
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 3:
(x + 1)/(x3 + 1) =
(x + 1)/(x + 1).(x2 -2x + 1)
= (Suma
o Resta de Potencias de Igual Grado, o "Ruffini")
(x + 1)/(x + 1).(x2 -2x + 1)
=
1/(x2 -2x + 1)
(x + 2)/(x2 + 3x + 2) =
(x + 2)/(x + 1).(x + 2) = (Trinomio de Segundo
Grado)
(x + 2)/(x + 1).(x + 2)
=
1/(x + 1)
(x - 3)/(2x3y - 6x2y) =
(x - 3)/2x2y.(x - 3) = (Factor
Común)
(x - 3)/2x2y.(x - 3) =
1/(2x2y)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Cuando se
cancela todo el denominador)
EJEMPLO 4 (Se simplifica un polinomio que
está elevado al cuadrado)
EJEMPLO 5 (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6 (Cuando quedan números para
simplificar)
EJEMPLO 7 (Cuando los números que quedan son
fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12
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