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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7
EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2
x3
5
2.x3.5
10x3
Bajo
x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir
que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son
"cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2,
etc.
EXPLICACIÓN:
Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos
relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.
1) Los cuadrados son x6 y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?).
Porque x6 "es cuadrado" de x3, ya que
(x3)2 es
igual a x6 (¿por qué?).
Y 25 "es el cuadrado" de 5.
Por otro lado, el término "10x3" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que
10 no es
cuadrado de ningún número racional (¿racional?)
(no tiene raíz cuadrada "exacta" ), y el exponente de "x" es
3, que no es un número par.
(más
explicación sobre esto) (los
que no son cuadrado seguro)
2) Las bases son entonces x3 y
5
3)
Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble
producto" de las bases (¿doble
producto?):
2.
x3.
5 ("Dos por
x3 por
5")
El resultado es "10x3". Ya que 2.x3.5 es igual a 2.5.x3., lo que es igual a
10x. (¿cómo se hacen
estas multiplicaciones?)
2.3x.5 = 10x
"Dió bien". Ya que 10x está en el polinomio que quiero factorizar (x6 +
10x3
+ 25).
Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
4) El resultado de la factorización es entonces: (x3 + 5)2. Es
decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿En qué se diferencia este ejemplo de los anteriores?
En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una potencia distinta de 2.
Es una potencia 6. Pero 6 es un número par. Es igual a "2 por 3". Entonces x6
se puede escribir como (x3)2. Ya que, por la propiedad
llamada Potencia de Potencia, (x3)2 es igual a x3.2=6 (se multiplican los exponentes).
De esta manera, pudimos escribir a x6 como "algo al cuadrado", como x3
al cuadrado. Entonces, podemos decir que x6 "es un cuadrado". Es el
cuadrado de x3.
Lo mismo puedo hacer con cualquier potencia par. Ya que cualquier número par es
igual a "2 por algo". Y entonces puedo escribirlo como una potencia de potencia,
con el 2 afuera, por lo termina siendo un cuadrado (¿otra
manera de pensarlo?). Por ejemplo:
4 es igual a 2 por 2. Entonces, a x4 lo
puedo escribir como (x2)2, ya que es igual a x2.2=4
, por la mencionada propiedad Potencia de
Potencia. Entonces, x4 es el
cuadrado de x2.
10 es igual a 2 por 5. Entonces, a x10 lo
puedo escribir como (x5)2, ya que es igual a x5.2=10.
Entonces, x10 es el cuadrado de x5.
8 es igual a 2 por 4. Entonces, a x8 lo
puedo escribir como (x4)2, ya que es igual a x4.2=8.
Entonces, x8 es el cuadrado de x4.
Y lo mismo podemos hacer con cualquier potencia par. Es decir que cualquier
potencia par es un cuadrado. Y por la misma razón, para que una potencia
sea cuadrado, debe ser una potencia par. Estas dos afirmaciones son
recíprocas (una dice lo inverso de la otra), y se pueden demostrar. Pero como
siempre: eso no es tema de esta página. Lo que quiero decir es que la
explicación anterior responde también a la pregunta ¿por qué para que una
potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?, que se hizo ya en varios
lugares de esta página.
Nota: Aclaro que las afirmaciones anteriores
valen dentro el contexto del tema que estoy explicando: polinomios. Las
potencias a las que me refiero son siempre potencias con exponente natural.
¿Por qué para que una potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?
Porque si es una potencia par, puedo hacer lo que hice en la pregunta anterior (leer).
Pero si es una potencia impar (1, 3, 5, 7, 9, etc.), eso no puede hacerse, ya
que no se puede escribir a un número par como "2 por algo" (estamos hablando de
número enteros). Entonces no podré expresarla como cuadrado de algo.
Otra manera de pensarlo
En vez de usar la propiedad "Potencia de potencia", podemos entender esto
mismo usando el concepto de Potencia (¿qué
es una potencia?). Por ejemplo, hagámoslo con x6:
Por el concepto de potencia, x6 es igual a x.x.x.x.x.x. Es decir, la x
multiplicándose 6 veces.
xxx.xxx
Ahora, en esas 6, puedo separar dos grupos de 3:
xxx por un lado y xxx por el otro. O sea x3 por un lado y x3 por el otro. Con lo
que llego a que x6 es lo mismo que a "x3 por x3".
Y eso es algo multiplicándose por sí mismo dos veces, entonces es "algo al
cuadrado". Es x3 al cuadrado. Llegamos entonces a que x6
es cuadrado de algo, es cuadrado de x3.
Con cualquier potencia par voy a poder hacer lo mismo, porque me quedan dos
grupos iguales, ya que un número par se puede dividir en dos partes iguales. En
cambio, si lo hiciera con una potencia impar, los grupos quedan diferentes, y
por eso no voy a poder decir que es cuadrado de algo, porque no son dos cosas
iguales multiplicándose. Por ejemplo x5:
x.x.x.x.x
No puedo dividirlo en dos grupos iguales sin que sobre nada.
Verificación de la factorización:
Comprobemos ahora si es verdad que (x3 + 5)2 es igual a x6 + 10x3 + 25:
-
Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un
binomio)
(x3 + 5)2 =
(x3)2 + 2.x3.5 + 52 = (x3)2
+ 10x3 + 25.
Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice,
porque, operando en el resultado (x3 + 5)2, obtuve el
polinomio original: x6 + 10x3 + 25
-
O usando el concepto de potencia:
(x3 + 5)2 = (x3 + 5).(x3 + 5) = x6 +
5x3 + 5x3 + 25 = x6 +
10x3 + 25.
(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:
x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2
x2 2.x2.1 1
2x2
16 + 4a10 + 16a5 = (4
+ 2a5)2
4 2a5 2.4.2a5
16a5
a2 + 2ab2 + b4 =
(a + b2)2
a 2.a.b2 b2
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos
cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz
exacta")
EJEMPLO
13 ("Con los cuadrados negativos")
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