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FACTOR COMÚN EN GRUPOS /
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")
4a - 4b - xa +
xb =
4.(a - b) + x.(-a + b) =
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
En el primer paso quedaron los signos opuestos para los 2 términos. Pero en el
segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en
realidad es sacar
FACTOR COMÚN NEGATIVO)
EXPLICACIÓN:
PASO 1:
Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común
"4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x"
entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(-a + b)
4. (a - b) + x. (-a + b)
(para saber por qué el signo +,
consultar en el EJEMPLO1)
PASO 2:
Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las
mismas (a y b), sólo que están con los signos "invertidos" u opuestos. Veamos:
En (a - b), la "a" es "positiva" y la "b" es negativa. Aquí tengo "+a" y "-b"
En (-a + b), la "a" es "negativa" y la "b" es positiva. Aquí tengo "-a" y "+b"
Es decir que la "a" es positiva en el primero, y negativa en el segundo. Son
"opuestos".
Y la "b" es negativa en el primero, y positiva en el segundo. Son "opuestos".
(¿opuestos?)
Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de
positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán
los dos resultados iguales. Pero si no quieren pensar en "sacar factor común
negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los
signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago
para el segundo:
4. (a - b) - x. (a - b)
Como se puede ver, en donde antes iba el +,
ahora pongo un -. Y a "a" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el
menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo".
(¿cómo se saca factor
común negativo?).
Este es el "arreglo" que hay que
hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (a y b en este
caso), pero con los signos "invertidos".
PASO 3:
Llegamos entonces a la situación normal, vista ya en el PASO 2 de los Ejemplos 1
ó 3. Podemos sacar factor común (a - b)
(a - b).(4 - x)
(Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)
Nota: Si se opta por "sacar factor común negativo", el PASO 1 de esta
explicación no se hace. Al sacar factor común negativo en el primer paso, el
ejercicio queda ya como en el PASO 2:
4a - 4b - xa + xb =
4. (a - b) - x. (a - b) = Acá saqué
factor común -x , ya en el primer paso
(a - b).(4 - x)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?
Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a
con xa por un lado y 4b con xb por otro lado.
Pero cuando saco factor común "positivo" (como es costumbre hacer) en ambos
grupos, me queda lo siguiente:
4a - 4b -
xa + xb =
Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
a. (4 - x) + b. (-4 + x) = Saqué factor común en las dos agrupaciones
Así también los resultados dan con los signos invertidos: (4 - x) y (-4 + x).
Entonces se puede hacer lo mismo que en la explicación del ejemplo: "Sacar el
menos afuera y cambiar los signos", "sacar factor común negativo en alguno de
los grupos":
a. (4 + x) - b. (4 + x) =
(4 + x).(a - b)
¿A qué le llamamos "opuestos"?
A dos cosas de igual valor, pero con signo contrario. Los signos son + y -,
por supuesto.
Por ejemplo:
5 y -5 son opuestos
a y -a son opuestos
-x3 y
x3 son opuestos
2az y -2az son opuestos
(x + 1) y - (x + 1) son opuestos
(x + 1) y -x -1 son opuestos (es igual al de arriba, pero saqué el paréntesis)
(a - b) y - (a - b) son opuestos
(a - b) y -a + b son opuestos (es igual al de arriba, pero saqué el paréntesis)
El término (la palabra) viene de la "Ley del opuesto", que dice que para todo
número entero hay otro número llamado opuesto (o simétrico) tal que sumado a
éste el resultado es "0", que es neutro de la suma". 5 + (-5) = 0 ; a + (-a) = 0
Más ejercicios resueltos, parecidos al ejemplo 5:
ax - ay - 2x + 2y =
a. (x - y) + 2. (-x + y) =
a. (x - y) - 2. (x - y) =
(x - y).(a - 2)
3x2 - 6x - 5xa + 10a =
3x. (x - 2) + 5a. (-x + 2) =
3x. (x - 2) - 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x - 5a)
8xb - 2x3 - 4ba + ax2=
2x. (4b - x2) + a. (-4b + x2) =
2x. (4b - x2) - a. (4b - x2) =
(4b - x2).(2x - a)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS
Explicaciones de otros Ejemplos:
EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado
desordenado)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)
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