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SUMA O RESTA DE POTENCIAS
DE IGUAL GRADO
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 11
EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)
8x3 + 27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 -
3/2 x + 9/4)
x 3/2
El polinomio no está normalizado.
Para dividir por Ruffini, primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que
queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin
normalizar antes, aunque hay que saber un "truquito". Se explica de todas
las maneras.
EXPLICACIÓN:
A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:
Tenemos 3 maneras distintas de encarar un ejemplo como éste usando el método
de la división:
1) Con la división de Ruffini, pero "normalizando" antes al polinomio
(Ya se verá en la explicación lo que es "normalizar").
2) Con la división común de polinomios. Ésta es la forma más directa, ya que
no hay que hacer ninguna modificación previa.
3) Con la división de Ruffini, pero multiplicando el dividendo y el divisor por
el mismo número. Con ese truco se pueden hacer divisiones con Ruffini por
polinomios que tengan un número multiplicando a la x (ya se verá en la
explicación).
Explicaré los tres procedimientos:
1) CON RUFFINI Y "NORMALIZANDO" EL DIVIDENDO:
Primero tenemos que hacer desaparecer el número 8 de delante de la x3, porque
así como está no podemos usar Ruffini con las bases (¿por
qué?). Para eso DIVIDO por 8 a los dos términos. A eso
se le llama "normalizar" el polinomio, y no es otra cosa que
"quitarle" el "coeficiente principal", o sea el coeficiente
de la letra con mayor exponente que tiene el polinomio (¿qué
es el coeficiente?).
Es como "sacar factor común 8", a pesar de que el 8 no está como
factor en el segundo término (EJEMPLO
10 - EJEMPLO 9
de Factor Común)
1) 8x3 + 27 = 8.(x3 + 27/8)
Ya que 8x3 dividido 8 dá x3 (y así logramos "sacarle el 8"),
y
27 dividido 8 dá 27/8 (Una división que no dá exacta se puede escribir
como fracción) (¿por
qué?)
Ahora sólo resta factorizar x3 + 27/8, como ya vimos en otros
ejemplos anteriores (EJEMPLO 7 -
CON FRACCIONES):
2) x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 27/8 es también potencia
tercera de algún número (¿qué
es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 27/8, que es igual a
3/2 (¿por qué?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a
la 3 me dá 27/8?", y me doy cuenta que el número 3/2 cumple con eso, ya que:
(3/2)3 = 27/8 (¿cómo
me doy cuenta de eso?)
2) "Bajo las bases", que son x
y 3/2 (¿qué
son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x3 y
27/8.
3) Divido el polinomio (x3 + 27/8) por el polinomio (x + 3/2). En la
SUMA de potencias IMPARES, tengo que dividir por la SUMA de las bases. Utilizo el método
de Ruffini:
| 1 0  
0 27/8
|
|
-3/2| -3/2 9/4 -27/8
1 -3/2 9/4 |
0
(Explicación
de la división por Ruffini)
El cociente es
entonces: x2 - 3/2 x + 9/4 (¿por
qué?). Y el resto
es 0, como debe ser (¿por
qué?).
4) Pongo el polinomio por el que
dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: x2 - 3/2
x + 9/4. Pero no debo
olvidar el número 8 que "saqué adelante". Así, queda factorizado
8x3 + 27 ó 8.(x3 + 27/8):
8x3 + 27 = 8.(x + 3/2).(x2 -
3/2 x + 9/4)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
2) CON LA DIVISIÓN COMÚN DE POLINOMIOS:
8x3 + 27 =
2x 3
Directamente puedo hacer la división por la suma de las bases:
8x3 + 0x2 + 0x + 27 | 2x + 3
-8x3 + 12x2 4x2 - 6x + 9
12x2 + 0x
-12x2 - 18x
-18x + 27
18x - 27
0
/
Entonces:
8x3 + 27 = (2x + 3).(4x2
- 6x + 9)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
3) CON RUFFINI, PERO USANDO UN "TRUCO":
Si tratamos de usar la Regla de Ruffini, sin "sacar el 8" antes,
tenemos el inconveniente de que las bases son 2x y 3, y entonces hay que dividir
por (2x + 3). Pero la Regla de Ruffini no se puede usar si hay un
número multiplicando a la x, y aquí tenemos un 2 que
"molesta".
8x3 + 27
= (2x + 3).(............) La división no se puede hacer con
Ruffini
2x 3
Pero hay una manera de encontrar el resultado de este tipo de divisiones, usando
la división de Ruffini. Consiste en multiplicar al Dividendo (8x3 + 27)
y al Divisor (2x + 3) por un mismo número. La división hecha
así dá el mismo resultado (COCIENTE), con distinto Resto. Pero lo que nos
importa para factorizar es solamente el cociente. La validez de este procedimiento tiene que ver con el
concepto de división de polinomios, y en otro apartado daré su justificación:
Ver aquí.
Con esa multiplicación, le "quitaremos" el 2 a (2x + 3), y así nos
quedará un divisor de la forma (x + a), que es requisito para poder usar
Ruffini. Para tal efecto, el número por el que tenemos que multiplicar es 1/2.
Es decir, una fracción con un 1 arriba y el número que queremos quitar abajo:
1/2 .(2x + 3) = (1x + 3/2) = (x + 3/2)
Y eso es porque 1/2 por 2 dá 1. Es decir, que al multiplicar por esa
fracción, logramos que el número que "molesta" para hacer Ruffini se
vaya. Obsérvese que lo que hicimos fue "normalizar" el divisor.
Así como lo hice multiplicando por 1/2, podría haberlo hecho dividiendo por 2,
ya que ambas operaciones son equivalentes (¿por qué?).
Pero lo hice con multiplicación, porque en general este truco lo enseñan así. (otros
ejemplos para ver por cuál número multiplicar)
Pero para que el resultado de la división sea igual, también hay que
multiplicar al dividendo por 1/2:
1/2 .(8x3 + 27)
= 4x3 + 27/2
Entonces ahora podemos usar Ruffini para dividir a (4x3
+ 27/2) por (x + 3/2), que dá el mismo resultado que dividir la otra división
que por Ruffini no podíamos hacer:
| 4 0 0 27/2
|
|
-3/2| -6 9 -27/2
4 -6
9 | 0
El cociente es entonces 4x2 -
6x + 9. Es el mismo resultado que dá la
división de (8x3 + 27) por (2x + 3) (ver
aquí esa división). Ahora, todo esto lo hicimos
solamente para poder encontrar el cociente, porque es el mismo que el de dividir
por (2x + 3) a (8x3 + 27). No debemos confundirnos ahora al armar el
resultado de la factorización. En esa división por Ruffini nosotros cambiamos
al dividendo y al divisor, como "truco" para encontrar el cociente.
Pero no olvidemos que el polinomio que queríamos factorizar era 8x3
+ 27, y el divisor para ese polinomio es 2x + 3. Entonces, de esa división por
Ruffini, sólo debemos tomar el cociente, no el dividendo ni el divisor. (más
sobre esto)
La factorización queda así:
8x3 + 27 = (2x + 3).(4x2
- 6x + 9)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
(¿Son diferentes los resultados de estos 3
procedimientos?)
B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:
Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este
ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la
pueden ver en:
REGLA
PARA EL SEXTO CASO
En un ejemplo como éste (8x3 + 27) no hay ningún impedimento para
usar la Regla. Es una SUMA de potencias IMPARES y las bases son 2x y 3.
1) El primer paso
es igual que con el otro método: 8x3 es potencia tercera o
"cubo", ya que 8
es potencia tercera y x3 también (PRODUCTO-POTENCIA). Entonces, averiguo si
27 es también potencia tercera de algún número
(¿qué
es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 27, que es igual a 3. O pienso: "¿Hay algún número elevado a
la 3 me dá 27?", y me doy cuenta que el número 3 cumple con eso, ya que 33 =
3.3.3 = 27 (¿cómo
me doy cuenta de eso?)
2) Por ser 8x3 + 27 una
SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de las bases, que son 2x
y 3 (¿qué
son las bases?). Voy "armando" el resultado:
8x3 + 27 = (2x + 3).(...............)
2x 3
3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (2x)2 y el 30.
Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno
menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente
de 2x en los siguientes términos, mientras que subo el
exponente del número 3. Los términos irán con los signos alternados (+ - + -
+ -), porque así dice la regla que deben ser cuando se
factoriza una SUMA. Me queda así:
8x3 + 27 = (2x + 3).[(2x)2.30
- (2x)1.31 + (2x)0.32] =
4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más
simple:
= (2x + 3).(4x2 - 2x.3 + 1.9) = (2x + 3).(4x2
- 6x + 9)
Para una explicación
completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del
Caso están en CONCEPTOS
- SEXTO CASO
¿Por qué tenemos que "sacar el 8" para poder hacer la división
con Ruffini?
(8x3 + 27) es una SUMA de potencias IMPARES. Sería divisible
por (2x + 3), es decir, la suma de las bases.
8x3 + 27 = (2x + 3).(....................)
2x 3
Si lo tratara de factorizar así como está, debería dividir por (2x + 3): la
suma de las bases. Pero, la Regla de Ruffini sólo sirve para dividir por
polinomios de la forma (x + a). Es decir: "x más o menos un número",
pero sin nada "delante de la x". Es verdad que hay truco para hacer
también divisiones con polinomios que sí tengan un número delante de la x,
pero esa sería otra manera de hacerlo, un poco más complicada y que no es
frecuente que enseñen en la actualidad (ver aquí).
Entonces, para no tener este problema, sacamos el 8 de delante de la x, y así
la primera base ya no es 2x, sino, la x sola:
8.(x3 + 27/8) =
x
3/2
Como ahora sólo tengo que dividir a x3 + 27/8, la primera base
es x, ya no 2x. Así, puedo dividir por Ruffini, ya que ahora el divisor -la
suma de las bases- es (x + 3/2), un divisor que no tiene un número delante de
la x, como lo tenía (2x + 3).
¿Por qué dá igual la división si multiplico el dividendo y el divisor por
un mismo número? (¿qué
es el "dividendo" y el "divisor"?)
Recordemos que:
DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE + RESTO
Es decir, que si divido a un polinomio P, por un polinomio Q, y me dá como
resultado un polinomio C, y el resto es un polinomio R:
P |
Q
C
R
/
Puedo decir que P = Q x C + R
Con un ejemplo numérico a lo mejor se entiende más:
26 |
3
2 8
0/
Entonces, puedo decir que 26 = 3 x 8 + 2 (Hagan la cuenta y confírmenlo)
Entendido eso, vamos a ver que pasa si multiplico por un número "K"
al dividendo P:
P = Q x C + R
K x P = K x [(Q x C) + R]
Ahora aplico la Propiedad Distributiva en el segundo miembro (¿qué
es un miembro?). Me queda:
K x P = K x Q x C + K x R
Y ahora aplico la Propiedad Asociativa de la multiplicación, para asociar a K x
Q:
K x P = (K x
Q) x C + K x R
En este resultado podemos "leer" lo siguiente, aunque no es fácil:
El dividendo es K x P, el divisor es K x Q, el cociente es C, y el resto es K x
R. ¿Qué significa esto? Que esa igualdad se puede interpretar como:
"Si dividido al polinomio K x P, por el polinomio K x Q, el cociente es el
polinomio C, y el resto es el polinomio K x P". O también:
"El cociente de dividir a K x P por K x Q, es igual a C". ¡Es el mismo
cociente C que se obtenía al divididr a P por Q! Y el resto es K x R, es decir,
el mismo resto pero multiplicado por K"
De ahí viene que, si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo
número, el resultado o cociente de la división es el mismo que cuando
dividimos sin multiplicar por nada. Y esa propiedad es la que avala lo que
hacemos al usar ese "truco" que luego nos permite aplicar la división
de Ruffini. Esto puede exceder el nivel de muchos lectores, y lo presento sólo
como la justificación del método sin pretender que se entienda todo el
razonamiento.
Aplicándolo en cualquier ejemplo se puede ver que esto es cierto. Lo voy
a hacer en un ejemplo sencillo:
DIVIDENDO: x2 + 2
DIVISOR: x + 1
x2
+ 0x + 2 | x + 1
-x2 - x x - 1
-x +
2
x + 1
3
/
COCIENTE: x - 1
RESTO: 3
Ahora multiplico al dividendo y al divisor por un mismo número, por ejemplo por
4, y hago la división, a ver qué pasa:
DIVIDENDO POR 4: 4x2 + 8
DIVISOR POR 4: 4x + 4
4x2
+ 0x + 8 | 4x + 4
-4x2 - 4x x - 1
-4x +
8
4x + 4
12
/
COCIENTE: x - 1 ¡El mismo
cociente que la otra división!
RESTO: 12, que es igual a 3x4. O sea, al otro Resto multiplicado por 4, el
número por el cual multipliqué a ambos polinomios (Aunque el Resto no nos
interesa para el tema que estamos viendo, ya que siempre nos dá Resto = 0).
¿Por cuál número hay que multiplicar al dividendo y al divisor, si queremos
usar Ruffini cuando hay un número multiplicando a la primera letra?
Hay que multiplicar por un número que "normalice" al divisor. Veamos
ejemplos, que así se entiende mejor:
Si el divisor es 3x + 4, para que desaparezca el 3 de delante de la x,
tengo que multiplicar por 1/3:
1/3.(3x + 4) = x + 4/3
"Normalicé al divisor" (¿qué es normalizar?)
Si el divisor es 5x - 2, para que desaparezca el 5 tengo que multiplicar
por 1/5:
1/5 .(5x - 2) = x - 2/5
Desapareció el 5 que molestaba para dividir por Ruffini
Si el divisor es 3/7 x + 1, tengo que multiplicar por 7/3
7/3 .(3/7 x + 1) = x + 7/3
Desapareció el 3/7
Podemos concluir que, para que "desaparezca" el coeficiente de la
primera letra, hay que multiplicar por el "inverso" de ese coeficiente
(¿qué es el coeficiente?
¿qué es el inverso?).
Si es un número natural, como 3 por ejemplo, su inverso es la fracción 1/3:
"una fracción con un 1 arriba y el 3 abajo". Si se trata de una
fracción, como 3/7, su inverso es "la fracción al revés", es decir
7/3. Y esto es porque, al multiplicar a un número por su inverso
multiplicativo, se obtiene como resultado el número 1, que es el neutro de la
multiplicación (¿el neutro?):
1/3 . 3x = 1x = x
1/5 . 5x = 1x = x
7/3 . 3/7 x = 1x = x
¿Por qué multiplicar por un 1/2 es lo mismo que dividir por 2?
O en general: "multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n".
Hagamos algunos ejemplos a ver qué pasa:
4. 1/2 = 4/2 = 2
4 : 2 = 2
24. 1/3 = 24/3 = 8
24 : 3 = 8
45. 1/5 = 45/5 = 9
45: 5 = 9
La multiplicación de 4 por 1/2 dá 4/2, que significa "4 dividido 2",
ya que la fracción significa división (¿cómo es esto?).
La multiplicación de 24 por 1/3 dá 24/3, que significa "24 dividido
3". Y así va a ser siempre que multiplique un número por una fracción
con numerador 1: queda una división entre el número que estoy multiplicando y
el denominador de la fracción. Es decir, queda una división entre el número y
el denominador de la fracción.
Multiplicación y división son operaciones "inversas", es decir: una
hace lo contrario de la otra. Multiplicar por un número es lo mismo que dividir
por su "inverso" y ha de ser por eso que se les llama
"inversos". Porque multiplicar por uno de ellos es lo mismo que
dividir por el otro. Porque aplicar una operación a uno de ellos es igual que
aplicarle la operación inversa al otro.
En uno de los métodos para factorizar que arriba expliqué, teníamos que
multiplicar al divisor por el inverso del coeficiente de x. Recordemos la
situación:
1/2 .(2x + 3) = x + 3/2
Y decía que hacer eso era lo mismo que dividirlo por 2:
(2x + 3):2 = x + 3/2 (Apliqué la Propiedad
Distributiva entre suma y división)
Porque 2x dividido 2 dá x; lo mismo que 1/2 . 2x. Ya que dividir por 2 es lo
mismo que multiplicar por su inverso 1/2.
¿Son iguales los resultados que se obtienen con los distintos métodos?
Ya hablé de esto en otros ejemplos (EJEMPLO
3 - EJEMPLO 10): obviamente todos los resultados son iguales,
porque todos son iguales a 8x3 + 27. Y pueden no parecer iguales por
su forma. Pero, operando (verificando)
en cualquiera de ellos, se llega a que es igual a
8x3 +
27. Lo cual
ya es una demostración de que son iguales. Mirémoslos a todos juntos, y
comparemos:
8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4)
(2x + 3).(4x2
- 6x + 9)
Parecen muy distintos, pero esa diferencia tiene que ver con los coeficientes
principales. En la primera factorización se han sacado los dos coeficiente
principales, y por eso ha quedado el número 8 multiplicando adelante. En la
segunda, se conservan los coeficientes principales (2 y 4). Ese 8, viene
justamente de haber "quitado" los coeficientes principales antes de
factorizar (normalizamos). En ese 8 están el 2 y 4 de la segunda
factorización (8 = 2.4).
En este caso, la manera más fácil de demostrar que ambas factorizaciones son
iguales, es operar en las dos y ver cómo se llega al mismo resultado: 8x3
+ 27:
8.(x + 3/2).(x2 -
3/2 x + 9/4) =
(8x + 12).(x2 - 3/2 x + 9/4) =
8x3 - 12x2 + 18x + 12x2 - 18x + 27 = 8x3
+ 27
(2x + 3).(4x2
- 6x + 9) = 8x3 - 12x2 + 18x + 12x2 - 18x + 27
= 8x3 + 27
Verificación de la factorización:
Ya lo hice en la pregunta anterior, para los dos resultados
"diferentes" que me dieron según el método que utilicé para
factorizar (ver aquí)
El resultado de la factorización cuando se usa el "truco" de
multiplicar dividendo y divisor por el mismo número:
En uno de los métodos que expliqué arriba, había que multiplicar el dividendo
(8x3 + 27) y el divisor (2x + 3) por 1/2, y luego se podía usar
Ruffini, porque el divisor quedaba sin el coeficiente principal (x + 3/2). Y el
dividendo quedaba así: 4x3 + 27/2.
La división era quedaba así:
| 4 0 0 27/2
|
|
-3/2| -6 9 -27/2
4 -6
9 | 0
En esta división, el cociente es 4x2 - 6x + 9. En este punto,
podríamos tender a pensar que la factorización del polinomio debe ser:
(x + 3/2).(4x2 - 6x + 9)
Porque DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE
Pero en esto hay un error, porque el dividendo de esa división era 4x3
+ 27/2. Y ése no era el polinomio que queríamos factorizar. Esa
"supuesta" factorización es de 4x3 + 27/2, no
de 8x3 + 27. Y podemos probar, operando, que esa
multiplicación de polinomios dá como resultado 4x3 + 27/2, y no 8x3
+ 27:
(x + 3/2).(4x2 - 6x + 9) = 4x3 - 6x2 + 9x + 6x2
- 9x + 27/2 = 4x3 + 27/2
Pero 4x3 + 27/2 no es lo mismo que 8x3 + 27 (en realidad
el primero es la mitad del segundo). Entonces, ésa no es la factorización que
buscamos, y no debemos confundirnos.
Debemos tener siempre presente que esa división que hicimos fue solamente para
encontrar un cociente. Un cociente que, por determinada propiedad (ver
justificación), es igual al cociente de una división
que no podíamos hacer con Ruffini entre los polinomios originales (8x3
+ 27) y (2x + 3). Pero una vez que tenemos el cociente buscado (4x2
- 6x + 9), debemos recordar cuáles eran los dos
polinomios que en verdad queríamos dividir: (8x3
+ 27) y (2x + 3), y no (4x3 + 27/2) y (x + 3/2).
Entonces, la factorización, con el cociente que hallamos mediante un
"truco" para poder usar Ruffini en la división, es:
8x3 + 27 = (2x + 3).
(4x2
- 6x + 9)
Porque DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. Aunque para la división hayamos usado
otro dividendo y otro divisor, pero para hallar el mismo cociente.
¿Qué es un miembro en una ecuación?
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones, con al menos alguna incógnita
en alguna de ellas o en ambas. Y a cada una de esas expresiones se las llama
"miembros". Es decir, "miembro" es "cada uno de los dos lados
de una ecuación". Por ejemplo:
3x + 4 = 16 es una ecuación. Sus dos miembros son: 3x + 4 por un lado
y 16 por el otro.
x2 + x = 5x2 + 6 es una ecuación. Sus dos miembros son:
x2 + x por un lado, y 5x2 + 6 por el otro.
El de la izquierda se dice que es el "primer miembro", y el de la
derecha es el "segundo miembro".
¿Qué es el "inverso" o "inverso multiplicativo"?
El inverso multiplicativo de un número es aquél número que, multiplicado por
él, dé como resultado el número 1. Por ejemplo:
El inverso multiplicativo de 3 es 1/3, porque 3.(1/3) dá como resultado 1.
El inverso multiplicativo de -5 es -1/5, porque (-5).(-1/5) = 1.
El inverso multiplicativo de 2/7 es igual a 7/2, porque 2/7 . 7/2 = 1
El inverso multiplicativo de 1/4 es igual a 4, porque 1/4 . 4 = 1
El inverso multiplicativo de 1 es 1, porque 1.1 = 1
Puede observarse que:
Si se trata de un número entero, su inverso es una fracción con un 1
"arriba" y ese número "abajo" (numerador: 1, denominador:
el número ése). (n y 1/n)
Si se trata de una fracción, su inverso es "la fracción dada
vuelta". Se le dice también la "fracción inversa". (n/m y m/n)
Si se trata de una fracción con un 1 "arriba" (numerador), y otro
número abajo (denominador), su inverso es igual al número de
"abajo". (1/n y n).
Un número y su inverso tienen el mismo signo (positivo o negativo). Y eso es
porque el resultado de su multiplicación debe dar 1. Y como el 1 es un número
positivo, la multiplicación de signos debe ser "más por más", o
"menos por menos", según la regla de los signos.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 11:
81a4 - 16 = 81.(a4 - 16/81) = (a - 2/3).(a3
+ 2/3 a2 + 4/9 a + 8/27) ó
a 2/3
3a 2
= (3a - 2).(27a3 + 18a2 + 12a + 8) ó
= (a + 2/3).(a3 - 2/3 a2 + 4/9 a - 8/27) ó
= (3a + 2).(27a3 - 18a2 + 12a - 8)
32 x5 - 1 = 32.( x5 - 1/32) = 32. (x - 1/2).(x4 +
1/2 x3 + 1/4 x2
+ 1/8 x + 1/16) ó
x 1/2
2x 1
= (2x - 1).(16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + 1)
8/125 x3 + 64 = 8/125.(x3 + 1000) = 8/125.(x + 10).(x2
- 10x + 100) ó
x 10
2/5 x 4 = (2/5x + 4).(4/25
x2 - 8/5 x + 16)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 12 (Suma
de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo
término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con
Ruffini")
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