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SUMA O RESTA DE POTENCIAS
DE IGUAL GRADO
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 5: (Con el "1")
x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2
- x + 1)
x 1
No hay que olvidar que el "1" puede ser
"cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.
EXPLICACIÓN:
A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:
1) x7 es potencia séptima. Y el 1 también es potencia séptima, ya
que existe un número que elevado a la séptima dá 1: Ese número no es otro
que el 1, ya que 17 = 1 (¿qué
es una potencia?). Y eso vale para cualquier otro ejemplo con
cualquier otra potencia, ya que el 1 es siempre resultado de cualquier potencia
a la que eleve al mismo número 1 (más
sobre esto).
2) "Bajo las bases", que son x
y 1. (¿qué
son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la séptima, dan x7 y
1.
3) Divido el polinomio (x7 + 1) por el polinomio (x + 1). Porque es
una SUMA
de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la SUMA de las bases, como ya
vimos en el EJEMPLO 1. Utilizo el método
de Ruffini:
| 1 0 0 0 0
0 0 1
|
|
-1| -1
1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 1 -1 1 -1 1 |
0
(Explicación
de la división por Ruffini)
(¿Cómo sería esta división sin usar
"Ruffini"?)
El cociente es
entonces: x6 - x5 + x4 - x3 + x2
- x + 1 (¿por
qué?). Y el resto
es 0, como debe ser (¿por
qué?).
4) Pongo el polinomio por el que
dividí: (x + 1), multiplicando al cociente de la división: (x6 - x5 +
x4 - x3 + x2 - x + 1). Así, queda factorizado x7
+ 1:
(x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2
- x + 1)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:
Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este
ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la
pueden ver en:
REGLA
PARA EL SEXTO CASO
1) El primer paso
es igual que con el otro método: x7 es potencia séptima. 1 también
es potencia séptima, ya que 17 dá 1.
2) Por ser x7 + 1 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la
SUMA de la BASES, que son x y 1 (¿qué
son las bases?).
Voy "armando" el resultado:
x7 + 1 = (x + 1).(............................)
3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x6 y el 10.
Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("6", uno
menos que el polinomio a factorizar), y al exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el
exponente del 1. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + - + - + -
+), porque así dice la regla que deben ser cuando se
factoriza una SUMA. Me queda así:
x7 + 1 = (x + 1).(x6.10 - x5.11 + x4.12
- x3.13 + x2.14 - x1.15 +
x016)
4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más
simple:
x7 + 1 = (x + 1).(x6.1 - x5.1 + x4.1
- x3.1 + x2.1 - x.1 + 1.1)
=
(x + 1).(x6 - x5 + x4
- x3 + x2 - x + 1)
En este caso particular, por trabajar con el número 1, resulta que todas las x
quedan al final "sin coeficiente" (que es el 1 en realidad, pero no se
pone), por lo cual es muy fácil aplicar esta regla en un caso como éste.
Para una explicación
completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS
- SEXTO CASO
"El 1 puede ser cualquier potencia" (¿qué
es una potencia?)
El 1 elevado a cualquier exponente dá como resultado 1. Entonces, el 1 puede
ser tomado como potencia de cualquier exponente que uno quiera. Por ejemplo:
13 = 1 El 1 es cubo. Porque
existe un número que elevado al cubo dá 1.
14 = 1 El 1 es potencia
cuarta. Porque existe un número que elevado a la cuarta dá 1.
15 = 1 El 1 es potencia
quinta. Porque existe un número que elevado a la quinta dá 1.
16 = 1 El 1 es potencia
sexta. Porque existe un número que elevado a la sexta dá 1.
Entonces, cuando en una Suma o Resta de dos potencias, uno de los términos es
1, puedo siempre decir que son potencias de igual grado, porque el 1 va a ser
"cualquier potencia" que a mí me sirva. Por ejemplo:
x5 - 1 = x5 - 15
x5 - 1 es una resta de potencias quintas. Porque x5 es
potencia quinta evidentemente, y el 1 también es potencia quinta, ya que es el
resultado de elevar el 1 a la 5 (15 = 1). Es una Resta de Potencias
Impares de Igual Grado, y puedo aplicar el Sexto Caso de Factoreo.
x10 - 1 = x10 - 110
x10 - 1 es una resta de potencias décimas. Porque x10 es
potencia décima evidentemente, y el 1 también es potencia décima, ya que es
el resultado de elevar el 1 a la 10 (110 = 1). Es una Resta de
Potencias Pares de Igual Grado, y puedo aplicar el Sexto Caso de Factoreo.
¿Cómo sería la división si no uso la Regla de Ruffini?
Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:
x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 +
0x3 + 0x2 + 0x + 1 | x + 1
-x7 - x6
x6
- x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1
-x6 + 0x5
x6 + x5
x5 + 0x4
-x5 -
x4
-x4 + 0x3
x4 + x3
x3 + 0x2
-x3 - x2
-x2 + 0x
x2 + x
x + 1
-x - 1
0
/
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:
(x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2
- x + 1)
=
x7 - x6 + x5 - x4 + x3 -
x2 + x + x6 - x5 + x4 - x3
+ x2 - x + 1 = x7 + 1
Se puede ver que hay términos "opuestos": -x6 y x6,
x5 y -x5, etc. (¿qué
es el opuesto?).
Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan
los términos x7 y 1.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la
factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización
es correcta.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 5:
x5 - 1 = (x - 1).(x4 + x3 + x2 +
x + 1)
x 1
a8 - 1 = (a - 1).(a7 + a6 + a5 +
a4 + a3 + a2 + a + 1) ó
a 1 (a
+ 1).(a7 - a6 + a5 - a4 + a3
- a2 + a - 1)
b9 + 1 = (b + 1).(b8 - b7 + b6
- b5 + b4 - b3 + b2 - b + 1)
b
1
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la
primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma
de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo
término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con
Ruffini")
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