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SUMA O RESTA DE POTENCIAS
DE IGUAL GRADO
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 14
EJEMPLO 14: ("No se puede hacer con Ruffini")
a5x5 + 32b5= (ax + 2b).(a4x4
- 2a3x3b + 4a2x2b2
- 8axb3
+ 16b4)
ax 2b
Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA
PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división. También se puede
hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.
EXPLICACIÓN:
A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:
1) a5x5 es una potencia quinta (¿qué
es una potencia?). Entonces pienso si 32b5 será también
una potencia quinta. Y lo es efectivamente, ya que (2b)5 es igual a
32b5 (¿cómo me doy cuenta de
eso?). Entonces es una
SUMA de potencias
IMPARES de igual grado.
2) "Bajo las bases", que son ax y 2b
(¿qué
son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan a5x5
y 32b5.
3) Divido el polinomio (a5x5 + 32b5) por el polinomio
(ax + 2b). Porque es
una SUMA de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la SUMA de las bases, como ya
vimos en el EJEMPLO 1. Como el divisor es (ax + 2b)
no puedo usar la regla de Ruffini para dividir (¿por
qué?)
Hago la división:
a5x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2
+ 32b5 | ax + 2b
-a5x5 - 2ba4x4 a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 -
8b3ax + 16b4
-2ba4x4 +
0x3
2ba4x4 + 4b2a3x3
4b2a3x3 + 0x2
-4b2a3x3
- 8b3a2x2
-8b3a2x2 + 0x
8b3a2x2 + 16b4ax
16b4ax + 32b5
-16b4ax - 32b5
0
/
El cociente es
entonces: a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 -
8b3ax + 16b4. Y el resto
es 0, como debe ser (¿por
qué?).
4) Pongo el polinomio por el que
dividí: (ax + 2b), multiplicando al cociente de la división: a4x4 -
2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax +
16b4. Así, queda factorizado a5x5
+ 32b5:
(ax + 2b).(a4 x4 -
2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax +
16b4)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:
Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este
ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la
pueden ver en:
REGLA
PARA EL SEXTO CASO
1) El primer paso
es igual que con el otro método: a5x5 y 32b5 son potencias
quintas. Ya que (2b)5 es igual a 32b5 (¿cómo
me doy cuenta de eso?).
Entonces, a5x5 + 32b5 es una SUMA de potencias
IMPARES de igual grado.
2) Por ser a5x5 + 32b5 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la
SUMA de la bases, que son ax y 2b (¿qué
son las bases?). Voy "armando" el resultado:
a5x5 + 32b5 = (ax + 2b).(............................)
3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (ax)4 e (2b)0.
Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("4", uno
menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el
exponente de 2b. Los términos irán alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se
factoriza una SUMA. Me queda así:
(ax + 2b).[(ax)4.(2b)0 - (ax)3.(2b)1 +
(ax)2.(2b)2
- (ax)1.(2b)3 + (2b)4]
4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más
simple:
(ax + 2b).(a4x4.1 -
a3x3.2b + a2x2.4b2
- ax.8b3 + 16b4 =
(ax + 2b).(a4x4 -
2a3x3b + 4a2x2b2
- 8axb3 + 16b4)=
Para una explicación
completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO
(¿Son iguales los resultados de los dos métodos?)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS
- SEXTO CASO
¿Son iguales los resultados que se obtienen con los dos métodos?
(ax + 2b).(a4x4 -
2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax +
16b4)
y
(ax + 2b).(a4x4 - 2a3x3b + 4a2x2b2
- 8axb3 + 16b4)
Son iguales. La única diferencia de
"forma" es el orden de los factores en tres de los términos: 2ba3x3
y
2a3 x3b, 4b2a2x2 y 4a2x2b2,
8b3ax y
8axb3. Pero son iguales sin duda, porque
en la multiplicación se puede cambiar el orden por la Propiedad Conmutativa.
Ahora ¿por qué los puse en ese orden en cada método? No es algo de mucha
importancia, pero voy a aclarar: Cuando hice la división común, tomé como variable principal del polinomio a
la x, y se puede ver como completé con 0x3, 0x2, etc. a
las potencias que faltaban. Por eso, en todos los términos quedó la x como
última letra. En cambio cuando usé la Regla del Sexto Caso, elevé a las bases
en el orden que venían ("ax" primero y "2b" después). Y en
ese orden quedaron las letras de los términos, poniendo delante solamente a los
números.
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:
(ax + 2b).(a4x4 - 2a3x3b + 4a2x2b2
- 8axb3 + 16b4) =
a5x5 - 2a4x4b + 4a3x3b2
- 8a2x2b3 + 16axb4 + 2ba4x4
- 4a3x3b2 + 8a2x2b3
- 16axb4 + 32b5=
Se puede ver que hay términos "opuestos":
-2a4x4b
y 2ba4x4, 4a3x3b2
y -4a3x3b2, etc.
(¿qué
es el opuesto?).
Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan
los términos a5x5 e 32b5. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la
factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización
es correcta.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 14:
81a4 - 16x4b4 = (3a - 2xb).(27a3
+ 18a2bx + 12ax2b2 + 8x3b3)
ó
3a
2xb (3a + 2xb).(27a3
- 18a2bx + 12ax2b2 - 8x3b3)
x7y7 - 128z7 = (xy - 2z).(x6y6 +
2x5y5z + 4x4y4z2 + 8x3y3z3 +
16x2y2z4 + 32xyz5 + 64z6)
xy 2z
125a3b3 + 27y3 = (5ab + 3y).(25a2b2
- 15aby + 9y2)
5ab 3y
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la
primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma
de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con letra y número en el segundo término)
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