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DIFERENCIA DE CUADRADOS
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x
- a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores,
y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
EXPLICACIÓN:
1) Las bases son: 6x y a3b2 (¿por
qué?) (¿qué
son las bases?). Ya que:
(6x)2 es igual a 36x2
(¿por
qué?)
(a3b2)2 es igual a a6b4
(¿por qué?)
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El
resultado de la factorización es entonces:
(6x + a3b2).(6x - a3b2) SUMA POR RESTA
DE LAS BASES
Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS
- DIFERENCIA DE CUADRADOS
¿Cómo reconozco los cuadrados en un ejemplo como éste? (Otra
explicación)
Reconozco a un multiplicación como cuadrado, cuando cada uno de sus factores
("las cosas que multiplican") son cuadrados. En este ejemplo:
36x2 es una multiplicación: "36 por x2". Ya que si no hay
signo alguno entre dos letras o número-letra hay que asumir que hay un signo
"por".
El 36 es cuadrado. Es el cuadrado de 6. Ya que 62 es igual a 36.
Y x2 es el cuadrado de x, obviamente.
Cada uno de los dos factores (36 y x2) es un cuadrado. Puedo darme cuenta
entonces, que esa multiplicación
(36x2) es cuadrado.
¿De dónde viene esto? Podemos pensar en la Propiedad Distributiva entre la
Potencia y la Multiplicación, que dice:
(a.b)n = an.bn
Y para la potencia "cuadrado":
(a.b)2 = a2.b2
Allí se puede ver que una multiplicación (a2.b2) es
cuadrado, ya que es igual a (a.b)2. En nuestro ejemplo:
(6.x)2 = 62.x2 = 36x2
Alli se puede ver que 36x2 es un cuadrado, porque es el cuadrado de
6.x. Porque cuando elevo al cuadrado a 6.x, obtengo 36x2.
Otros ejemplos de multiplicaciones que son cuadrados:
25x2 es el cuadrado de 5x.
Ya que (5x)2 es igual a 52.x2, lo que es igual
a 25x2
16y4 es el cuadrado de 4y2.
Ya que (4y2)2 es igual a 16.y4, lo que es igual
a 16y4
4b6 es el cuadrado de
2b3. Ya que (2b3)2 es igual a 22.b6,
lo que es igual a 4b6
a2b8c2 es el cuadrado de (ab4c).
Ya que (ab4c)2 es igual a a2.b8.c2
Cuando quiero determinar si una multiplicación es o no un cuadrado, tengo que
mirar a cada cosa que multiplica y pensar "¿Es cuadrado de algo?". Si
se trata de un número, como 36 en nuestro ejemplo, le puedo "sacar la
raíz cuadrada" con la calculadora, para ver si dá "exacta" (¿exacta?).
Si es así, el número es cuadrado. Y si se trata de una letra, tiene que ser
una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), como ya lo he dicho en muchos
otros comentarios (Ver en: ¿por
qué tiene que ser una potencia par?). Como por
ejemplo: x2, x4, a6, y8, b10,
etc.
¿Por qué (6x)2 es igual a 36x2, y
(a3b2)2 es igual a a6b4?
(6x)2 es igual a 62.x2, por la Propiedad Distributiva entre
la Potencia y la Multiplicación. Y eso es igual a 36x2.
O también:
(6x)2 es igual a 6x.6x, por el Concepto
de Potencia. Y 6x.6x es igual a 6.6.x.x (en la multiplicación se puede
cambiar el orden), lo que es igual a 36x2. (¿por
qué x.x es igual a x2?)
(a3b2)2 es igual a (a3)2.(b2)2,
por la Propiedad Distributiva de la Potencia y la Multiplicación.
Y (a3)2
es igual a a6, porque en la "Potencia de Potencia" se multiplican los
exponentes. Lo mismo para (b2)2, que dá como resultado b4.
Entonces, (a3b2)2 es igual a a6.b4
ó a6b4.
O también:
(a3b2)2 es igual a (a3b2).(a3b2),
por el Concepto de Potencia. Y (a3b2).(a3b2)
es igual a a3.a3.b2.b2, porque
"en la multiplicación se puede cambiar el orden". Eso es igual a a6.b4,
porque "se suman los exponentes de las letras iguales", según una de
las Propiedades de las Potencias de Igual Base (Propiedades)
¿Por qué x.x es igual a x2?
Por el Concepto de Potencia,
"una cosa (la x), multiplicada por sí misma dos veces, es igual a esa cosa
a la potencia 2".
O como caso particular de Multiplicación de Potencias de Igual
Base:
x.x es lo mismo que x1.x1. Como hay que sumar los exponentes, eso es igual a x1+1, o sea x2.
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado: (¿Cómo
se hacen estas "Distributivas"?)
(6x + a3b2).(6x
- a3b2) = 36x2 - 6xa3b2 + 6xa3b2
- a6b4 = 36x2 - a6b4
Otros ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:
x2y4 - 1/4a2 = (xy2 + 1/2a).(xy2 -
1/2a)
xy2 1/2a
81/16 b8 - x2a10 = (9/4 b4 + xa5).(9/4
b4 - xa5)
9/4 b4 xa5
49x8 - 9/100 y6z2 = (7x4 + 3/10 y3z).(7x4 -
3/10 y3z)
7x4
3/10 y3z
a4b10 - 144x6 = (a2b5
+ 12x3).(a2b5 - 12x3)
a2b5 12x3
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Fácil)
EJEMPLO 2 (Con dos letras)
EJEMPLO 3 (Con el número "1")
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con potencias distintas de 2)
EJEMPLO 7 (Con números decimales)
EJEMPLO 8 (Con la resta "al revés")
EJEMPLO 9 (Uno "con todo")
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)
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