Temario
| Factoreo | Todos los Ejemplos
|
Respuestas
DIFERENCIA DE CUADRADOS
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 7
EJEMPLO 7: (Con números decimales)
x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)
x 0,4
También se puede hacer pasando los números decimales a
fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)
EXPLICACIÓN:
A- TRABAJANDO CON DECIMALES:
1) Las bases son: x y 0,4 (¿qué
son las bases?). Ya que (0,4)2 es igual a 0,16
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El
resultado de la factorización es entonces:
(x + 0,4).(x - 0,4) SUMA POR RESTA
DE LAS BASES
Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
B- TRABAJANDO CON FRACCIONES:
0,16 es igual a 16/100 (¿por
qué?). Puedo simplificar, y me queda 4/25
(¿cómo se simplifica?).
El ejercicio queda así entonces:
x2 - 4/25 = (x + 2/5).(x - 2/5)
x 2/5
1) Las bases son: x y 2/5. Ya que (2/5)2 es igual a 4/25 (¿por
qué?)
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El
resultado de la factorización es entonces:
(x + 2/5).(x - 2/5) SUMA POR RESTA
DE LAS BASES
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS
- DIFERENCIA DE CUADRADOS
¿Cómo puedo reconocer si un número decimal es un cuadrado?
1) Con la calculadora:
Podemos usar la calculadora para ver si el número decimal tiene raíz exacta (¿raíz
exacta?). Por ejemplo:
= 0,3
Entonces, 0,09 es cuadrado. Es el cuadrado
de 0,3. Ya que (0,3)2 es igual a 0,09.
En cambio:
=
0,632455532
Ese número llena la calculadora, y porque en realidad sus cifras decimales
siguen hasta el infinito: Es un número irracional. En este caso, decimos que
0,4 "no es cuadrado", porque su raíz cuadrada es irracional. No hay ningún número
racional (¿número
racional?) que elevado al cuadrado de 0,4.
2) Conociendo ciertas reglas sobre los decimales y sus potencias (sólo para
interesados):
Seguramente todos prefieren usar la calculadora. Pero también es posible darse
cuenta si un decimal es cuadrado, si se conocen algunas cosas sobre las
potencias y raíces de los números decimales. No voy a explicar ese tema, sino
simplemente voy a proporcionarles algunas claves para reconocer un cuadrado en
un número decimal.
Para que un número decimal sea cuadrado, hay que mirar que cumplan con estas
dos pautas:
A- Tiene que tener un número par (2, 4, 6, 8, etc.) de cifras decimales. Por
ejemplo:
0,04 (tiene 2 cifras decimales); 0,0009 (4 cifras decimales); 1,44 (2 cifras
decimales); 0,0121 (4 cifras decimales); 0,000001 (6 cifras decimales); etc.
Los ejemplos anteriores podrían ser cuadrados, pero además deben cumplir otra
cosa:
B- El número, quitándole la coma y los ceros de adelante, tiene que ser un
cuadrado. Es decir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, etc. Esos
cuadrados enteros que ya conocemos. En los ejemplos anteriores:
0,04 es cuadrado. Porque además de tener un número par de cifras decimales
(dos), el 4 es un cuadrado (ya que 22 es 4)
0,0009 es cuadrado. Porque, además de tener un número par de cifras decimales
(cuatro), el 9 es un cuadrado (ya que 32 es 9)
1,44 es cuadrado. Porque, además de tener un número par de cifras decimales
(dos), el 144 es un cuadrado (ya que 122 es 144)
Estas dos condiciones sirven para reconocer al decimal como cuadrado o no. Pero
¿cómo calculamos la base (¿qué
son las bases?). Lo voy a mostrar directamente en los
ejemplos (ver varios para darse cuenta de la regla):
0,04 es cuadrado de 0,2. Para calcularlo mentalmente, lo pienso de la siguiente
manera:
A- Calculo mentalmente la raíz cuadrada de 4, que es 2.
B- Divido por dos al número de cifras decimales que tiene el 0,04. Son dos
cifras decimales, entonces: "2 dividido 2, igual a 1". El resultado de
la raíz cuadrada de 0,04 tiene que tener una cifra decimal.
C- El resultado debe ser 0,2. Es decir: El 2 que hallé en el punto A, pero con
una cifra decimal, por la división que hice en el punto B. Para que el 2 tenga
una cifra decimal, le debo agregar adelante "cero coma". Así me
quedó 0,2.
0,0009 es cuadrado de 0,03. Para calcularlo mentalmente, lo pienso de la
siguiente manera:
A- Calculo mentalmente la raíz cuadrada de 9, que es 3.
B- Divido por 2 al número de cifras decimales que tiene el 0,0009. Como tiene 4
cifras decimales, hago: "4 dividido 2, igual a 2".
C- El resultado debe ser 0,03 entonces. El 3, con dos cifras decimales. Para eso
le agrego los 2 ceros adelante.
0,000001 es cuadrado de 0,001. Como se puede ver, tiene la mitad de cifras
decimales, y el número es la raíz cuadrada de 1: en este caso 1.
1,44 es cuadrado de 1,2. Porque la raíz cuadrada de 144 es 12. Y debo ponerle
la mitad de las cifras decimales: la mitad de dos es una.
0,0121 es cuadrado de 0,11. Porque 11 es raíz cuadrada de 121. Y debo ponerle
la mitad de las cifras decimales: La mitad de cuatro es dos. (más
sobre decimales, potencias y raíces)
Esas reglas son para aplicarlas, pero sin saber por qué. Para entender por qué
esto es así, hay que ponerse a calcular potencias de números decimales y
observar los resultados:
0,52 es igual a 0,25. Mirando las cifras decimales de ambos números,
se puede ver que se duplicó el número de cifras. Y eso tiene que ver con lo
que pasa cuando se multiplican dos números decimales.
0,052 es igual a 0,0025. Mirar la cantidad de cifras decimales de
ambos números: 2 y 4.
0,0052 es igual a 0,000025. Mirar la cantidad de cifras: 3 y 6.
Al elevar al cuadrado a un decimal, el número de cifras se duplica. Entonces,
para hacer hacer al revés, es decir calcular su raíz cuadrada o la "base
del cuadrado", hay que dividir por dos a la cantidad de cifras decimales.
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado: (¿Cómo
se hacen estas "Distributivas"?)
(x + 0,4).(x - 0,4)
= x2 - 0,4x + 0,4x - 0,16 = x2 - 0,16
O con las fracciones:
(x + 2/5).(x - 2/5) = x2 - 2/5 x + 2/5 x -
4/25 = x2 - 4/25
Otros ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:
x2 - 0,0001 = (x + 0,01).(x - 0,01)
x 0,01
x2 - 1/10000 = (x + 1/100).(x - 1/100)
x 1/100
b8 - 2,25 = (b4 + 1,5).(b4 - 1,5)
b4 1,5
b8 - 225/100 = b8 -
9/4 = (b4 + 3/2).(b4 - 3/2)
b4 3/2
0,81 - y6 = (0,9 + y3).(0,9 - y3)
0,9 y3
81/100 - y6 = (9/10
+ y3).(9/10 - y3)
9/10 y3
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Fácil)
EJEMPLO 2 (Con dos letras)
EJEMPLO 3 (Con el número "1")
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con potencias distintas de 2)
EJEMPLO 6 (Con términos compuestos)
EJEMPLO 8 (Con la resta "al revés")
EJEMPLO 9 (Uno "con todo")
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)
Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com
|