RESPUESTAS A LAS CONSULTAS
TEMA:
FACTOREO DE POLINOMIOS
21-10-10 Pregunta de mauricio
hola! quisiera saber como se resuelve esta cuatrinomio cubo perfecto..
y3+3y2+3y+1 (la primera y esta elevada al cudo y la segunada y al cuadrado,,
gracias
Hola mauricio.
y3 + 3y2
+ 3y + 1 = (y + 1)3
y
1
3.y2.1 3.y.12
3y2
3y
En ese polinomio hay dos "cubos" (potencias terceras). Uno es,
evidentemente, y3. Y el otro es 1, ya que 13 = 1. Es
decir, hay dos términos que son igual a "algo elevado a la tercera".
y3 es igual a "y elevado a la tercera"; y 1 es "1
elevado a la tercera". Otro ejemplo en donde quizás se note más: 8 es
igual a 23, entonces 8 es un cubo, porque es igual a "algo
elevado a la tercera", es igual a "2 elevado a la tercera": 23.
A esos "algo" se les llama "bases" (¿qué
son las "bases"?).
En este ejercicio las bases son: "y" y "1". Luego, hay que
verificar que los otros dos términos son igual a: "El triple producto de
una de las bases elevada al cuadrado, por la otra base". En general, si
llamo a y b a las bases, esos términos tienen que ser igual a:
3.a2.b y
3.a.b2
Como las bases son "y" y "1", lo que se tiene que verificar
es que esos otros dos términos que tiene el polinomio ("3y2"
y "3y") sean iguales a:
3.y2.1 y
3.y.1
Así que veamos:
3.y2.1 = 3.1.y2 = 3y2 Bien
3.y.12 = 3.y.1 = 3.1.y = 3y Bien
Entonces puedo decir que ese polinomio es un cuatrinomio cubo perfecto, que
proviene de elevar a la tercera (cubo) a una suma (binomio, dos términos
positivos o negativos), a la suma de las "bases":
(y + 1)3
Ya que para elevar una suma a la potencia tercera, se usa esta fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Y si se la aplicamos a (y + 1)3, vemos que efectivamente dá el
polinomio que nos dieron para factorizar:
(y + 1)3 = y3 + 3.y2.1 + 3.y.12 + 13
= y3 + 3y2 + 3y + 1
Más explicación y ejemplos en las páginas dedicadas a este Caso de factoreo:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
14-09-10 Pregunta de Sofi
Hola, si espero que me puedas ayudar, gracias.
Di que clase de factoreo puedes utilizar:
- 4 a2 + b2 =
4 x2 - 28 x + 49 =
(x +1) 3 x - (x+1) (x + 3)
x2 - 5 x – 6 =
9 +6x2 + 1 =
121 – x4 =
Factoriza:
9/16 x2 – 3/ 2 x + 1=
121 x4 – 9=
x2 - 7 x + 10=
(x+2)(x+1) - ( 2x +3) ( x + 2)=
121 x2 - 88 x + 16 =
Hola Sofi:
Te ayudo para que descubras qué Caso puedes usar en cada uno. Y también te
conviene consultar en la página donde se explica cómo reconocer qué Caso usar
en un polinomio: Ver
aquí
Dí que Caso de Factoreo puedes utilizar:
-4b2 + b2 =
Ayuda: Si cambias el orden de los términos, tienes una resta de dos potencias
cuadradas.
4x2 - 28x + 49 =
Ayuda: Tiene 3 términos. Hay dos términos que son cuadrados.
(x + 1).3x - (x + 1).(x + 3) =
Ayuda: (x + 1) está multiplicando en todos los términos.
x2 - 5x - 6 =
Ayuda: Tiene 3 términos. Uno es una letra al cuadrado. Pero los
otros no son cuadrados.
121x2 - 88x + 16 =
Ayuda: lo mismo que en el segundo ejercicio.
Factorizaciones:
9/16 x2 – 3/2 x + 1=
121 x4 – 9=
x2 - 7 x + 10=
(x+2)(x+1) - (2x +3)(x + 2)=
121 x2 - 88 x + 16 =
Son casi todos ejercicios típicos de los Casos de Factoreo (menos el cuarto
ejercicio), que si aprendiste los Casos los podrás resolver sin problema. Y
sino, en la página están explicados ejercicios como ésos. Te paso los enlaces
que te pueden servir:
Trinomio
Cuadrado Perfecto - Ejercicios Resueltos
Ejemplo 3 (Con
fracciones)
Ejemplo
6 (Con un número multiplicando a la letra)
Diferencia de Cuadrados - Ejercicios Resueltos
Ejemplo 5 (Con potencias distintas de 2)
Ejemplo 6 (Con términos compuestos)
Trinomio
de Segundo Grado - Ejercicios Resueltos
Factor
Común - Ejercicios Resueltos
Ejemplo
8 (El factor común es una expresión de dos términos)
12-09-10 Pregunta de Ana
5x (a2 – b+c) + 6 (a2– b + c) =
6 x 3– 1 – x 2+ 6 x =
(1+5x) (x + 2) + 2 x ( x+2) + 3 ( x + 2) =
Por favor si puedes ayudarme te lo agradeceria mucho, no entendi estos
ejercicios de factor comun
Hola Ana.
Primer ejercicio:
5x.(a2 – b + c) + 6.(a2 – b + c) = (a2
- b - c).(5x + 6)
El
factor común aquí es toda la expresión (a2 - b + c), porque está
multiplicando en ambos términos. En el EJEMPLO
8 del Primer Caso expliqué una situación así. Piensa así: ¿"qué
queda en cada término cuando le quito el factor común (a2 – b + c)?".
Ves que en el primer término queda 5x, y en el segundo término queda 6. Por
eso, queda (5x + 6).
Segundo
ejercicio:
6x3 – 1 – x2 + 6 x =
Éste es un ejercicio combinado, y no de los más fáciles. Primero hay que
aplicar el Segundo Caso: Factor
común en grupos. Pero además, es una situación particular de ese Caso, lo
cual expliqué en la página en el EJEMPLO
10. Espero que conozcas ya bien el Segundo Caso, sino te costará seguir la
explicación siguiente.
Primero voy a cambiar el orden de los términos para que veas como
agrupo:
6x3 + 6 x – 1 – x2
=
Ahora voy a sacar factor común en el primer grupo (hago las cosas de a una para
que se entienda mejor, pero tú puedes hacer todo en el mismo paso):
6x.(x2 + 1) - 1 - x2 =
En el segundo grupo no hay factor común entre los términos, pero los
términos son iguales a los que quedaron entre paréntesis en el primer grupo: x2
y 1. En un caso así se saca factor común 1 en el segundo grupo, porque así se
podrá seguir con el Caso:
6x.(x2 + 1) + 1.(-1 - x2)=
Luego, como los signos quedaron diferentes y ambos signos son opuestos,
hago un "cambio de signos" (también podrías haber sacado factor
común -1 en el paso anterior, si es que sabes hacerlo). Me queda:
6x.(x2 + 1) - 1.(1 + x2)=
Pero ahora veo también que están "desordenados", es decir:
son los mismos términos, pero en distinto orden. Hago un paso para ordenarlos,
pero no es obligatorio.
6x.(x2 + 1) - 1.(x2 + 1)=
Y finalmente concluyo con el Caso, haciendo la segunda sacada de factor
común:
(x2 + 1).(6x - 1)
Tercer ejercicio:
(1 + 5x).(x + 2) + 2x.(x + 2) + 3.(x + 2) =
(x + 2).(1 + 5x + 2x + 3) =
(x + 2).(7x + 4)
Éste es como el primero: el factor común es una expresión de varios
términos: (x + 2). Luego en el segundo paréntesis quedan términos que se
pueden "juntar": "las x con las x y los números con los
números". Por eso queda: (7x + 4)
Espero que te sirva, y cualquier duda en algún paso consulta. El segundo es el
más complicado pues hay que conocer muy bien el Caso para entenderlo.
12-09-10 Pregunta de Sofía
( 5 + x) 2 - 36 =
(5x -6) 2 – (x + 3)2=
No se como hacer cuando en estos casos, Muchas gracias
Hola Sofi. Son para factorizar con el Quinto Caso: Diferencia
de cuadrados, porque son dos términos cuadrados que están restándose. La
dificultad radica en que el primer término "tiene dos términos
adentro". Te muestro cómo se hacen, y luego te explico:
(5 + x)2 - 36 = (5 + x + 6).(5 + x - 6) = (x + 11).(x - 1)
5 + x 6
Las "bases" de los cuadrados son: "(5 + x)" y "6".
Y este Quinto Caso se factoriza como "el producto (multiplicación) de la
suma por la resta de las bases". Entonces, hay que multiplicar la suma de
(5 + x) y 6, por la resta de (5 + x) y 6. Eso sería así:
(5 + x + 6).(5
+ x - 6)
Aquí te puse al 5 + x remarcado, para que lo veas mejor separado del 6. Luego,
el 5 con el 6 se pueden sumar en el primer factor, y restar en el segundo. Por
eso quedó: (x + 11).(x - 1).
(5x -6)2 – (x + 3)2=
5x - 6 x + 3
(5x - 6 + x + 3).[(5x - 6) - (x + 3)] =
(6x - 3).(5x - 6 - x - 3) =
(6x - 3).(4x - 9)
En éste, las dos bases tienen dos términos. Pero siempre se trata de lo mismo:
"La suma de las bases por la resta de las bases. En el segundo factor tuve
que poner paréntesis para restar (x + 3), porque así debe ser cuando hay que
restar algo que tiene más de un término, ya que el signo menos afecta a todos
los términos. Luego quité el paréntesis y cambié los signos de x + 3, por lo
que quedó -x - 3. Después junté "las x con las x y los números con los
números", como se hace en las operaciones con expresiones algebraicas,
polinomios, etc. Por eso quedó:
(6x - 3).(4x - 9)
Bueno Sofi, espero que lo entiendas, y sino vuelve a consultar cualquier duda.
Gracias por tu consulta, y me ha dado la idea de agregar un ejemplo como éstos
en la página, ya que no puse ninguno así.
24-08-10
Pregunta de PG
b2 + e2 - a2 - d2
+ 2ad + 2bc =
Hola PG. Supongo que quieres ver cómo se
factoriza ese polinomio. Pero creo que está mal copiado, y que el segundo
término debería ser c2 y no e2. Porque no hay otra
"e" en el polinomio. Lo hago suponiendo que es así:
b2 + c2 -
a2 - d2 + 2ad + 2bc =
Este ejercicio es un poco más complicado que la mayoría de los ejemplos que
muestro en la página. Es para agrupar términos, como los últimos ejemplos que
puse "para avanzados" (del EJEMPLO 12 en adelante de los ejercicios
combinados). Se puede factorizar así:
Primero lo voy a ordenar, para que se vea que términos voy a agrupar:
b2
+ 2bc + c2 -
a2 + 2ad - d2
=
En cada uno de esos grupos se puede aplicar el Tercer Caso: Trinomio
Cuadrado Perfecto. Pero en el segundo grupo tengo que cambiar los signos
antes, entonces saco factor común -1. Luego aplico el Tercer Caso a cada grupo:
b2 +
2bc + c2 -1.(a2
- 2ad + d2 )=
b
c
a
-d
2.b.c
2.a.(-d)
2bc
-2ad
(b + c)2 - 1.(a - d)2 =
(b + c)2 - (a - d)2
=
(b +
c) (a - d)
Y eso es una Diferencia de
cuadrados, donde las bases son (b + c) y (a - d):
(b + c + a - d).[b + c - (a - d)] =
(b + c + a - d).(b + c - a + d)
Resumen de los pasos:
b2 + c2 - a2 - d2
+ 2ad + 2bc =
b2 +
2bc + c2 - a2
+ 2ad - d2 =
b c
a
-d
2.b.c
2.a.(-d)
2bc
-2ad
b2 +
2bc + c2 -1.(a2
- 2ad + d2 )=
(b + c)2 - 1.(a - d)2 =
(b + c)2 - (a - d)2 =
(b +
c) (a - d)
(b + c + a - d).[b + c - (a - d)] =
(b + c + a - d).(b + c - a + d)
Espero que lo hayas entendido, o sino consulta cualquier duda que te haya
quedado en algún paso.
12-08-10
Pregunta de martin hormanstorfer
Les envio este mail para pedirles ayuda en la factorizacion de un polinomio que apartentemente se trata de un cuatrinomio cuadrado perfecto , pero que al aplicar el mecanismo utilizado anteriormente en los otros polinomios , no logro resolverlo. Desde ya muchisimas gracias.
El polinomio es el siguiente: 9m2x3 + 1 – x3 – 9m2
Hola martin. No es un Cuatrinomio cuadrado perfecto.
Ese polinomio se puede factorizar con el Segundo Caso: Factor común en grupos.
Y luego con Diferencia de Cuadrados y con Suma o resta de potencias de igual
grado. Es un ejercicio combinado, y no es de los más comunes.
9m2x3 + 1 - x3 - 9m2 =
Voy a cambiar
el orden de los términos, para que se vea cómo agrupo para aplicar el segundo
caso:
9m2x3 - 9m2
- x3 + 1 =
9m2.(x3 - 1) + 1.(-x3 + 1) =
(Es uno el caso particular donde hay que sacar factor
común 1, como el EJEMPLO
10 del Segundo Caso)
9m2.(x3 - 1) - 1.(x3
- 1) =
(Hice el cambio de signos, para que quede igual lo que
está entre paréntesis. Eso se explica en el EJEMPLO
5 del Segundo Caso)
(x3 - 1).(9m2 - 1) =
Ahora se puede aplicar el Sexto Caso ("Ruffini") en el primer factor.
Y Diferencia de Cuadrados en el segundo. Los hago de a uno para que se entienda
mejor.
(x3 - 1).(9m2 - 1) =
x 1
(x - 1).(x2 + x + 1).(9m2 - 1) =
(Consulta el EJEMPLO
2 del Sexto Caso si quieres ver el procedimiento completo de la
factorización)
(x - 1).(x2 + x + 1).(9m2
- 1) = (Por último aplico Diferencia
de Cuadrados)
3m 1
(x - 1).(x2 + x + 1).(3m + 1).(3m - 1)
Como vez, no era un Cuatrinomio Cubo Perfecto, porque sino hubiera llegado a un
resultado con la siguiente forma: (a + b)3.
Cualquier duda que te haya quedado, vuelve a consultar.
05-06-10 Pregunta de Spawn
como puedo resolver esta operacion,la verdad ya no me acuerdo y no la encuentro por ningun lado 5b a la tercera potencia menos 3b a la tercera potencia mas 2b a la segunda potencia
Hola Spawn. Depende del tema que estés viendo es lo que te pedirán que hagas en ese ejercicio.
1) Si estás viendo el tema "Expresiones Algebraicas" (operaciones con letras), pero no viste el tema "Factor Común", lo que puedes hacer es esto:
5b3 - 3b3 + 2b2 =
2b3 + 2b2
Porque
5b3 - 3b3 es igual a 2b3 . Agrupé los dos primeros términos porque tienen igual la "parte literal", es decir,
"b3". En cambio a 2b2 no lo puedo agrupar con
ningún otro término, ya que es el único que tiene "parte literal"
igual a b2
Pero si el tema que estás viendo es "Factoreo", o te enseñaron a sacar "Factor común", podrías hacer un paso más:
2b2.(b +
1)
(saqué factor común "2b2")
Espero que te sirva y cualquier duda vuelve a preguntar.
25-04-10 Pregunta de Claudia:
espero q me respondas a este
correo, estoy en crisis y tengo examen
Como se factoriza X^3y + 5x^2y^3 -20xy
Hola Claudia. En ese polinomio se puede sacar
factor común (primer caso de factoreo), y queda así:
xy.(x2 + 5xy2 -
20) RESULTADO
Explicación:
El factor común es "xy", porque en todos los términos está tanto la
letra "x" como la "y", y el menor exponente con el que
aparecen en alguno de ellos es 1. Recordemos que cuando sacamos como factor
común alguna letra, hay que hacerlo con el menor exponente con que aparece en
el polinomio. Y también recordemos que si una letra "no tiene
exponente" está en realidad elevada a la potencia "1". Le voy a
poner el "1" en el polinomio original así se ve mejor:
x3y1 + 5x2y3
- 20x1y1
La letra "x" está en el primer término
elevada a la 3, en el segundo está elevada a la 2 y en el tercero está elevada
a la 1. ¿Cuál es el menor exponente con que aparece? El 1, entonces hay que
sacar como factor común a x1, que es lo mismo que "x".
La letra "y" está en el primer término elevada a la 1; en el
segundo, a la 3 y en el tercero a la 1. ¿Cuál es el menor exponente con que
aparece? El 1, entonces hay que sacar como factor común a y1, que es
lo mismo que "y".
Entre los números no hay factor común, porque el primer término "no
tiene número" (coeficiente). El único número que "divide" a
todos los coeficientes (1, 5 y 20) es el número 1, y factor común 1 no tiene
sentido sacar (quedaría todo igual). Para un número como factor común, todos
los coeficientes deben ser múltiplos de algún mismo número (que no sea 1).
Por ejemplo, ahí tienes el 5 y el 20 que ambos son múltiplos de 5 (se pueden
dividir por 5). Si el número del primer término fuera también un múltiplo de
5 (5, 10, 15, 20 , 25, etc.), se podría sacar "factor común 5". Pero
no es el caso porque el primer término "no tiene número" (el
coeficiente es "1").
Entonces, el factor común completo que hay que sacar es "xy" (que es
lo mismo que x1.y1)
Luego de "sacar el factor común", hay que dividir a todos los
términos por él:
(x3y1) : (x1y1) = x2
Se restan los exponentes de cada letra (División
Potencias de Igual Base)
(5x2y3):(x1y1) = 5x1y2
ó lo que es igual 5xy2
(-20x1y1):(x1y1) = -20
Si te quedan dudas en cómo hacer estas divisiones, puedes ver más aquí:
Divisiones de
monomios
Y para más explicación y ejemplos de sacar factor común con letras, te
recomiendo ver el segundo ejemplo resuelto y su explicación y comentarios:
FACTOR COMÚN - EJEMPLO 2
Gracias por tu consulta. Espero te sirva la respuesta y cualquier duda vuelve a
preguntar.
Pregunta de Seba
(Argentina - 1ero Polimodal):
¿Cuál es el factor común en 16x3 - 24a + 40z2?
El factor común entre esos números es el número 8. Porque los tres
números son divisibles por 8, y es el mayor de los números que dividen a los
tres (también son divisibles por 2 y por 4). Es decir, que puedes dividir al 16
por 8, puedes dividir al 24 por 8, y puedes dividir al 40 por 8. Y 8 es el mayor
número con el que puedes hacer eso.
Siempre el factor común entre los
números es su DCM o MCD (Máximo Común Divisor). En un caso así donde no te
das cuenta a simpre vista cuál es el número, puedes calcular el DCM
entre ellos.
O también lo puedes pensar así: "El 8 está "incluido" en el 16,
en el 24 y en el 40" (lo de "incluido" es puramente para
ilustrar, pero no se dice de esa forma). Porque:
16 es igual a 8.2
24 es igual a 8.3
40 es igual a 8.5
Ves como el 8 "está" en todos esos números. Es común a esos
números. Es un "factor común" a esos números. Y como es "lo
mayor" que hay entre ellos (el MCD), es el "factor común" que me
piden que saque en estos ejercicios. Porque, por ejemplo, el número
"4" también "está" en todos esos números, ya que: 16 es
igual a 4.4, 24 es igual a 4.6
y 40 es igual a 4.10. El 4 también es "un
factor que tienen en común" esos números. Pero no es "el factor
común" que tenemos que sacar en estos ejercicios, porque hay que sacar al
número más grande que cumpla con eso (el MCD).
Más sobre esto en:
EJEMPLO
6 (Factor Común entre números
grandes)
MCD (o DCM) (Máximo
Común Divisor)
FACTOR COMÚN
(Ejemplos Resueltos y
Conceptos Generales)
EJEMPLO 1 (Cómo
sacar factor
Común entre los números)
Pregunta de José (Argentina - 5to año):
¿Hola! como hago para factorizar completamente este
polinomio:
a.b6 - a7=?
ab6 - a7 =
Primero tienes que sacar factor común
"a", y te queda:
a.(b6 - a6) =
Luego, en lo que quedó puedes aplicar alguno de estos dos Casos: Diferencia de
Cuadrados, o el de "Ruffini" (Sexto Caso). Lo hago con Diferencia que
es más fácil:
a.(b6 - a6) = a.(b3
+ a3).(b3 - a3) =
b3
a3
Ahora, te quedó para aplicar
"Ruffini" en esos dos que quedaron. Para ir de a poco te muestro como
queda luego de aplicarlo en (b3 + a3):
a.(b + a).(b2 - ab + a2).(b3
- a3) =
Y por último lo hago con (b3 - a3), y queda:
a.(b + a).(b2 -
ab + a2).(b - a).(b2 + ab + a2)
Si no sabes cómo hacer la división de Ruffini con dos letras (b + a) ó (b -
a), eso está explicado aquí:
DIVISIÓN
DE RUFFINI CON 2 LETRAS
Y sino consultáme de nuevo que te muestro cómo son estas dos.
El ejercicio completo sería entonces así, en RESUMEN:
ab6 - a7 =
a.(b6 - a6) =
a.(b3
+ a3).(b3 - a3) =
a.(b + a).(b2 - ab +
a2).(b3
- a3) =
a.(b + a).(b2 -
ab + a2).(b - a).(b2 + ab + a2)
Lo que usamos se puede
consultar en las siguientes páginas:
FACTOR
COMÚN CON LETRAS (EJEMPLO 2)
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(EJEMPLO 2)
SEXTO CASO
("RUFFINI") CON DOS LETRAS (EJEMPLO 6)
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