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FACTOREO COMBINADO / EXPLICACIÓN DEL
EJEMPLO 4
EJEMPLO 4: (Factor Común y Factor Común en Grupos)
30a4x - 15a3xz - 10a3y
+ 5a2yz =
5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =
5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =
5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =
5a2.(2a - z).(3ax - y)
Primero se puede sacar factor común 5a2, y luego agrupar
para sacar factor común en grupos (2do Caso). Fue necesario incorporar el uso
de corchetes son para no usar "paréntesis dentro de paréntesis". El
tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.
EXPLICACIÓN:
Nota: Para seguir
la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
FACTOR
COMÚN y FACTOR COMÚN EN GRUPOS.
1) Primero saco factor común "5a2":
5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =
2) Luego, dentro del paréntesis se puede agrupar para sacar factor común en
grupos. Agrupo el primero con el segundo, y tercero con cuarto:
5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =
Como al aplicar el Segundo Caso debo usar los paréntesis, tuve que usar
corchetes en el lugar que antes estaban los paréntesis. Mientras haya más de
un término en el polinomio que estoy factorizando, debo mantenerlo encerrado,
porque está multiplicando a 5a2. (no
entiendo eso)
5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =
5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] = (no
entiendo estos cambios de signos)
5a2.(2a - z).(3ax - y)
Ahora ya no es necesario el corchete, pues se trata de una multiplicación de
tres factores. (no entiendo eso)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales están en CONCEPTOS
- EJERCICIOS COMBINADOS
¿Por qué tuve que usar corchetes?
En
5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz), el 5a2 está
multiplicando a cuatro términos, y por eso hay que ponerlos entre paréntesis
(que lo hacemos cuando sacamos factor común). En casos como ése ponemos
paréntesis para aclarar que estamos multiplicando a todo eso por 5a2.
En un ejemplo con todos números se podría entender mejor por qué usamos así
el paréntesis:
5.(8 + 3 + 1) =
Usamos ese paréntesis para aclarar que a 5 hay que multiplicarlo por el
resultado de sumar a 8 + 3 + 1. Es decir, para aclarar que primero hay que sumar
8 + 3 + 1, y luego multiplicar al resultado por 5:
5.12 = 60
Si no pusiéramos ese paréntesis, estaríamos indicando que el 5 sólo
multiplica al 8, es decir al primer término; y a los otros términos no los
multiplica:
5.8 + 3 + 1 =
40 + 3 + 1 = 44 (Sin paréntesis daría un
resultado diferente)
Entonces, para aclarar que multiplicamos a el resultado de una suma o resta,
debemos usar paréntesis, u otros símbolos que "encierran". Esos
otros símbolos que existen son: los corchetes ([ ]) y las llaves ({ }). Se
recurre a los corchetes cuando es necesario encerrar algo que ya tiene
paréntesis. En el ejemplo:
7. [2.(1 + x) + 3x]
Como tuve que encerrar entre paréntesis a 1 + x, para indicar que está todo
multiplicado por 2, luego tuve que usar corchetes, para indicar que toda la
expresión 2.(1 + x) + 3x está multiplicada por 7.
En el EJEMPLO 4 que se explica en esta página:
5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =
5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =
luego de sacar factor común en grupos me quedaron dos términos
("3ax.(2a - z)" y "y.(-2a + z)") que deben ir multiplicando
por 5a2. Por eso tuve que encerrar la expresión para indicar que
todo está multiplicando por 5a2. Pero como en esa expresión ya hay
paréntesis, tuve que recurrir a otro de los símbolos que
"encierran": los corchetes.
¿Y por qué luego se sacan los corchetes?
Cuando los que estaba dentro del corchete, que eran dos términos:
5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)]
se transforma en multiplicación:
5a2.(2a - z).(3ax - y)
ya no hace falta el corchete. Porque una multiplicación es un solo término, no
hay que indicar que 5a2 está multiplicando a dos términos. Con un
ejemplo numérico se puede ver mejor:
5.(3.2.7) =
En ese ejemplo, no hace falta "encerrar" a la multiplicación 3.2.7
para indicar que hay que multiplicar al resultado por 5. Porque la
multiplicación cumple la Propiedad Asociativa, entonces:
5.(3.2.7) = (5.3).(2.7) = (5.3.2).7 = 5.(3.2).7 = 5.3.2.7 = 210
Es decir que no importa cuál multiplicación se haga primero, el resultado
final siempre es el mismo. No hace falta "encerrar" una parte para
indicar que primero se resuelve eso y luego se multiplica por lo otro. De
cualquier manera dá igual. Por eso, en la multiplicación:
5a2.(2a - z).(3ax - y)
no hace falta encerrar entre corchetes a (2a - z).(3ax - y).
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva primero entre 5a2 y (2a - z), y luego entre lo que
queda:
5a2.(2a - z).(3ax - y) = (10a3 - 5a2z).(3ax -
y) = 30a4x - 10a3y - 15a3xz + 5a2zy
=
30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2zy
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:
2bd + 2bc - 2ad - 2ac =
2.(bd + bc - ad - ac) =
2.[(b.(d + c) - a.(d + c)] =
2.(d + c).(b - a)
10xy2 - 2xyz + 5xyw - xwz =
x.(10y2 - 2yz + 5yw - wz) =
x.[2y.(5y - z) + w.(5y - z)] =
x.(5y - z).(2y + w)
9ax3 - 3bx3 - 27a2x3 + 9abx3
=
3x3.(3a - b - 9a2 + 3ab) =
3x3.[3a.(1 - 3a) - b.(1 - 3a)] =
3x3.(1 - 3a).(3z - b)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)
EJEMPLO 2 (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 3 (Factor Común y Suma o Resta de Potencias
de Igual Grado)
EJEMPLO 5 (Factor Común y Séptimo Caso)
EJEMPLO 6 (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de
Cuadrados)
EJEMPLO 7 (Resta de Potencias Pares de Igual Grado y
Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 8 (Factor Común en Grupos y Diferencia de
Cuadrados)
EJEMPLO 9 (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de
Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 10 (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia
de Cuadrados)
EJEMPLO 11 (Factor Común, F. C. en Grupos y
Diferencia de Cuadrados)
AVANZADOS (Agrupando y aplicando distintos Casos en cada grupo) :
EJEMPLO 12
EJEMPLO 13
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
EJEMPLO 19
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